等差数列项数公式怎么来的（等差数列全网最全硬科普）

所谓数列，就是按照一定次序排列的一列数。数列里的每个数称为数列的项。

数列的第一项称为首项，用a1表示；第n项称为数列的通项，用an表示。

整个数列的所有项用{an}表示。

这里一定要注意区分an与{an}，an只是表示数列的第n项，而{an}表示数列的所有项。

关于n的函数表达式an=f(n)称为数列的通项公式。

数列前n项的和用Sn表示：

Sn=a1+a2+…+an

我们很容易得出对任意数列有如下结论：

当n=1时

Sn=S1=a1

当n≥2时

Sn=a1+a2+…+an

=[a1+a2+…+a(n-1)]+an

=S(n-1)+an

an=Sn-S(n-1)

一定注意，这个结论成立的前提是n≥2。因为如果n=1，就会出现S(n-1)=S(1-1)=S0，而S0是没有实际意义的。

an=S1，n=1

an=Sn-S(n-1)，n≥2

如果知道一个数列的前n项和Sn，必然可以求出这个数列的通项公式an。但反之，并不一定成立。

好了，关于一般数列就介绍到这里。接下来，进入今天的主题——等差数列。

如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都等于同一个常数，则称这个数列为等差数列，这个常数称为公差，公差用字母d表示。

等差数列的定义：

an-a(n-1)=d，n≥2

我们首先来求出等差数列{an}的通项公式an

an-a(n-1)=d，n≥2

an=a(n-1)+d，n≥2

根据等差数列的定义，很容易观察到以下规律

a2=a1+d=a1+(2-1)d

a3=a2+d=(a1+d)+d

=a1+2d=a1+(3-1)d

a4=a3+d=(a1+2d)+d

=a1+3d=a1+(4-1)d

…………

根据以上规律以此类推，显然应该有an=a1+(n-1)d。

然而，这样的证明是不严格的，因为无论你找出多少项具备此规律，都不能说明对任意n都有此规律。

我们把通过有限项的规律来猜想结论的方法称为不完全归纳法，有限项的规律可以对我们分析的问题指明方向，但不能严格证明结论。

要想没有任何逻辑漏洞的证明结论，就需要用到完全归纳法，也称为数学归纳法。关于数学归纳法的理论，我在前面的文章中详细讨论过，大家可以前往我的主页翻看。

数列{an}为等差数列

求证：an=a1+(n-1)d

证明：①当n=1时，an=a1

a1+(n-1)d=a1+(1-1)d=a1+0=a1

an=a1+(n-1)d，等式成立

②假设当n=k时，等式成立

ak=a1+(k-1)d

③当n=k+1时

数列{an}为等差数列，根据等差数列的定义

a(k+1)=ak+d=[a1+(k-1)d]

=a1+kd=a1+[(k+1)-1]d

仍然满足结论。

所以对任何正整数n都有

an=a1+(n-1)d，证毕！

除了利用数学归纳法来证明以外，还有一种非常巧妙的方法。

对于任意数列{an}，当n≥2时都有：

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+[an-a(n-1)]

这种计算an的方法称为叠加法或累加法。

数列{an}为等差数列

求证：an=a1+(n-1)d

证明：①当n=1时，an=a1

a1+(n-1)d=a1+(1-1)d=a1+0=a1

an=a1+(n-1)d，等式成立

②当n≥2时

数列{an}为等差数列，根据等差数列的定义

an-a(n-1)=d

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+[an-a(n-1)]

=a1+d+d+…+d

=a1+(n-1)d，等式成立

所以对任何正整数n都有

an=a1+(n-1)d，证毕！

多说两句，对于这个看上去很显然的求等差数列通项式的问题，我用了两种不同的思路进行了严格证明。之所以讲得如此详细，是希望通过这个例子让大家体会到我们在初学知识的时候，一定要把每个知识点搞清楚、弄明白。而不是一知半解的学过就忘，更不是简单粗暴的对结论死记硬背。我们一定要学会多问问为什么。

我们继续来推导公式：

对于任意m，n∈N*，m≠n

an=a1+(n-1)d

am=a1+(m-1)d

an-am=[a1+(n-1)d]-[a1+(m-1)d]

=[(n-1)-(m-1)]d=(n-m)d

an-am=(n-m)d

an=am+(n-m)d

am=an-(n-m)d

这个公式告诉我们，已知等差数列中的任何一项am和公差d，都可以求得数列中的其他任何项an。

an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d

an-a1=(n-1)d，an-am=(n-m)d

d=(an-a1)/(n-1)=(an-am)/(n-m)

这是求公差d的公式，已知数列中任何两项am，an都可以求出d。注意看这个公式非常对称美观，很是漂亮。

d=(an-a1)/(n-1)

n-1=(an-a1)/d

n=[(an-a1)/d]+1

如果一个数列{an}是有限项的，那么通项an也可以称为末项。

这个公式是求等差数列项数n的公式，可以记住口诀：

“项数等于，（末项-首项），除以公差，再加1”

这里特别强调，公式里面是需要再加1的，这一点很多初学者容易忽略掉。

接下来，我们来讨论等差数列的前n项和Sn。我们首先来讲一个非常有名的故事。

在数学界有很多天才甚至天神，比如欧拉、牛顿、黎曼、阿基米德、欧几里得、笛卡耳、伽罗瓦等。但是数学王子只有一个，那就是德国大数学家高斯。

高斯在读小学三年级的时候，有一天老师出了一道题，计算1+2+…+100=？当同学们都在奋笔计算的时候，只有年仅10岁的小高斯没有动笔。过了两分钟，小高斯举手说道：老师，我知道答案了，是5050。老师非常惊讶，你明明连笔都没有动，怎么就知道正确答案了呢？

高斯说：我发现

1+100=101，2+99=101，……，50+51=101。

从1加到100，一共有50组101，所以答案是50×101=5050。

年仅10岁的小高斯就已经独立思考出了倒序相加法的思想，这是多么令人恐怖的思维能力，这就是神和人的差距。

数学王子—高斯

对于等差数列{an}，若m+n=p+q

am+an=[a1+(m-1)d]+[a1+(n-1)d]

=2a1+(m+n-2)d

ap+aq=[a1+(p-1)d]+[a1+(q-1)d]

=2a1+(p+q-2)d

2a1+(m+n-2)d=2a1+(p+q-2)d

am+an=ap+aq

以上结论还可以推广到多个数，注意两个关键点：

①等式两边项的下脚标之和相等

②等式两边的项数相等

若m1+m2+…+mt

=n1+n2+…+nt

则a(m1)+a(m2)+…+a(mt)

=a(n1)+a(n2)+…+a(nt)

需要注意的是

若m+n=2r

am+an≠a(2r)

因为等式左边有两项，但是等式右边只有一项。

正确的做法是：

若m+n=2r=r+r，则

am+an=ar+ar=2ar

接下来我们采用高斯提出的倒序相加法来求出等差数列的前n项和Sn。

Sn=a1+a2+…+an

Sn=an+a(n-1)+…+a1

两式相加

2Sn=(a1+an)+[a2+a(n-1)]+…+(an+a1)

根据上面推出的结论：

a1+an=a2+a(n-1)=……=an+a1

2Sn=n(a1+an)

Sn=n(a1+an)/2

这就是等差数列前n项和求和公式，我们可以记住口诀：

“前n项和等于，（首项加末项），乘以项数，除以2”

大家有没有观察到，等差数列求和公式和梯形求面积公式非常相像，实际上这两个公式在本质上就是完全一样的。

S梯形=[(上底+下底)×高]÷2

将an=a1+(n-1)d代入

Sn=n(a1+an)/2，可得

Sn=n[a1+a1+(n-1)d]/2

=[2na1+n(n-1)d]/2

=na1+n(n-1)d/2

我们又得到了求Sn的另一个公式

Sn=na1+n(n-1)d/2

好了，今天关于等差数列的基本公式就介绍到这里。

总结一下，对于等差数列主要掌握五要素：

首项a1、通项an、项数n、公差d、前n项和Sn。

对于这五要素，记住口诀：

“知三求二”

也就是说，知道这5个要素中的任意3个要素，都可以求出另外2个要素。

以上内容都是关于等差数列最基础最重要的公式，大家务必认真领会记忆。在接下来的内容中，我们将进一步探讨等差数列的基本性质。

前面我们学习了等差数列的

基本定义：

an-a(n-1)=d，n≥2

这也是判断一个数列是否是等差数列的最基本方法。

除了最基本的定义外，还有两种判定方法。

①通项公式：

an=a1+(n-1)d

an=a1+nd-d=dn+(a1-d)

令k=d，b=a1-d

则an=kn+b

也就是说等差数列的通项公式形如一次函数。

②前n项和：

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

Sn=na1+dn^2/2-dn/2

=(d/2)n^2+(a1-d/2)n

令A=d/2，B=a1-d/2

则Sn=An^2+Bn

也就是说等差数列的前n项和形如不含常数项的二次函数。

除了以上3种判定方法外，还有第4种方法。

如果数列a1、a2、a3成等差数列

根据定义有

a2-a1=a3-a2=d

2a2=a1+a3

我们把这三项的中间项a2叫其相邻两项a1和a3的等差中项。

也就是说，等差中项的2倍等于其相邻两项的和。

我们将这个结论推广到一般情况

等差中项：

2a(n+1)=an+a(n+2)

至此，我们一共有四种判定等差数列的方法。

分别是：基本定义、等差中项、通项公式以及前n项和公式。

我们继续讨论等差数列的性质。

对于等差数列{an}，若项数n为奇数，则这n项必存在最中间的一项，这个中项就是第(n+1)/2项，用“a中”表示：

a中=a[(n+1)/2]

在上一节中，我们推导出了结论：

若m+n=2r，则am+an=2ar

所以有

a1+an=2a[(n+1)/2]=2a中

Sn=n(a1+an)/2n

=(n×2a中)/2n=na中

我们得出了奇数项的前n项和公式

Sn=na中=na[(n+1)/2]

进一步还可以得出：

奇数项的平均数为

Sn/n=a中=a[(n+1)/2]

换一种写法，若项数为(2n-1)项，显然(2n-1)项为奇数项。

[(2n-1)+1]/2=2n/2=n

则a中=an，前(2n-1)项和为

S(2n-1)=(2n-1)a中=(2n-1)an

进一步，若另一个等差数列{bn}的前(2n-1)项和为T(2n-1)

T(2n-1)=(2n-1)bn

S(2n-1)/T(2n-1)

=(2n-1)an/(2n-1)bn=an/bn

an/bn=S(2n-1)/T(2n-1)

对于等差数列{an}

所有奇数项的和：

S奇=a1+a3+a5+…

所有偶数项的和：

S偶=a2+a4+a6+…

①当项数为偶数项2n项时：

S偶-S奇=nd

S奇/S偶 =a(n)/a(n+1)

证明：S偶-S奇

=[a2+a4+…+a(2n)]-[a1+a3+…+a(2n-1)]

=(a2-a1)+(a4-a3)+…+[a(2n)-a(2n-1)]

=d+d+……+d=nd

S偶-S奇=nd，证毕！

S奇/S偶

=[a1+a3+…+a(2n-1)]/[a2+a4+…+a(2n)]

={[a1+a(2n-1)]n/2}/{[a2+a(2n)]n/2}

=[a1+a(2n-1)]/[a2+a(2n)]

=2an/2a(n+1)=a(n)/a(n+1)

S奇/S偶 =a(n)/a(n+1)，证毕！

②当项数为奇数项(2n-1)项时：

S奇-S偶=an

S奇/S偶 =n/(n-1)

证明：S奇-S偶

=[a1+a3+…+a(2n-3)+a(2n-1)]-[a2+a4+…+a(2n-2)]

=(a1-a2)+(a3-a4)+…+[a(2n-3)-a(2n-2)]+a(2n-1)

=-d-d-……-d+a(2n-1)

=a(2n-1)-(n-1)d=an

S奇-S偶=an，证毕！

S奇/S偶

=[a1+a3+…+a(2n-1)]/[a2+a4+…+a(2n-2)]

={[a1+a(2n-1)]n/2}/{[a2+a(2n-2)](n-1)/2}

=(2an×n/2)/[2an×(n-1)/2]

=n/(n-1)

S奇/S偶 =n/(n-1)，证毕！

总结一下以上四个公式：

最后再来看一个有趣的结论：

若数列{an}为等差数列，则

Sn，S(2n)-Sn，S(3n)-S(2n)，…

也成等差数列

一定注意，这个结论并不是Sn，S(2n)，S(3n)，…也成等差数列，而是指前n项和，接下来n项和，再接下来n项和也成等差数列。

若数列{an}为等差数列，求证：

Sn，S(2n)-Sn，S(3n)-S(2n)

也成等差数列

证明：Sn=a1+a2+…+an

S(2n)-Sn

=[a1+a2+…+an+a(n+1)+…+a(2n)]-(a1+a2+…+an)

=a(n+1)+a(n+2)+…+a(2n)

S(3n)-S(2n)

=[a1+a2+…+a(2n)+a(2n+1)+…+a(3n)]-[(a1+a2+…+a(2n)]

=a(2n+1)+a(2n+2)+…+a(3n)

[S(2n)-Sn]-Sn

=[a(n+1)+a(n+2)+…+a(2n)]-(a1+a2+…+an)

=[a(n+1)-a1]+[a(n+2)-a2]+…+[a(2n)-an]

=nd+nd+……+nd

=n×nd=(n^2)d

[S(3n)-S(2n)]-[S(2n)-Sn]

=[a(2n+1)+a(2n+2)+…+a(3n)]-[a(n+1)+a(n+2)+…+a(2n)]

=[a(2n+1)-a(n+1)]+[a(2n+2)-a(n+2)]+…+[a(3n)-a(2n)]

=nd+nd+……+nd

=n×nd=(n^2)d

[S(2n)-Sn]-Sn

=[S(3n)-S(2n)]-[S(2n)-Sn]

=(n^2)d

Sn，S(2n)-Sn，S(3n)-S(2n)

也成等差数列，公差为(n^2)d

证毕！

最后再来做一道例题，加深对这个公式的理解。

已知：{an}为等差数列

Sn=100，S(2n)=300

求：S(3n)

解：Sn=100，S(2n)=300

Sn=100，S(2n)-Sn=300-100=200

{an}为等差数列

Sn，S(2n)-Sn，S(3n)-S(2n)

也成等差数列

Sn+[S(3n)-S(2n)]=2[S(2n)-Sn]

=2×200=400

S(3n)-S(2n)=400-Sn

=400-100=300

S(3n)=300+S(2n)=300+300=600

S(3n)=600